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《不定积分习题课 - 3. 不定积分习题课3》

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    微积分是高等数学的重要内容,它是微分学和积分学的统称,专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。在本教程中,我们就对初等微积分的相关知识进行学习。


    微积分诞生之后,数学迎来了一次空前繁荣的时期。对18世纪的数学产生了重要而深远的影响。但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础,这在初创时期是不可避免的。科学上的巨大需要战胜了逻辑上的顾忌。他们需要做的事情太多了,他们急于去攫取新的成果。基本问题只好先放一放。正如达朗贝尔所说的:“向前进,你就会产生信心!”数学史的发展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。

    微积分是能应用于许多类函数的一种新的普遍的方法,这一发现必须归功于牛顿和莱布尼茨两人。经过他们的工作,微积分不再是古希腊几何的附庸和延展,而是一门独立的学科。

    历史上,关于微积分的成果归属和优先权问题,曾在数学界引起了一场长时间的大争论。1687年以前,牛顿没有发表过微积分方面的任何工作,虽然他从1665年到1687年把结果通知了他的朋友。特别地,1669年他把他的短文《分析学》术给了他的老师巴罗,后者把它送给了John Collins。莱布尼茨于1672年访问巴黎,1673年访问伦敦,并和一些与牛顿工作的人通信。然而,他直到1684年才发表微积分的著作。于是就发生莱布尼茨是否知道牛顿工作详情的问题,他被指责为剽窃者。但是,在这两个人死了很久以后,调查证明:虽然牛顿工作的大部分是在莱布尼兹之前做的,但是,莱布尼兹是微积分主要思想的独立发明人。这场争吵的重要性不在于谁胜谁负的问题,而是使数学家分成两派。一派是英国数学家,捍卫牛顿;另一派是欧洲大陆数学家,尤其是伯努利兄弟,支持莱布尼茨,两派相互对立甚至敌对。其结果是,使得英国和欧洲大陆的数学家停止了思想交换。因为牛顿在关于微积分的主要工作和第一部出版物,即《自然哲学的数学原理》中使用了几何方法。所以在牛顿死后的一百多年里,英国人继续以几何为主要工具;而大陆的数学家继续莱布尼兹的分析法,使它发展并得到改善,这些事情的影响非常巨大,它不仅使英国的数学家落后在后面,而且使数学损失了一些最有才能的人应用可作出的贡献。