《12-子群与生成》

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      抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量(vector)、矩阵（matrix)、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群（group)、环(ring)、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

　　抽象代数也就是我们所说的近世代数，它是现代计算机理论基础之一。抽象代数主要对代数结构进行研究，不过期研究对象也会随着数学更严格化的要求而变化，下面我们就来了解一下。

　　被誉为天才数学家的伽罗瓦(1811-1832)是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。

　　1920~1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。建立了交换诺特环理论，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论。

　　1927-1935年，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。

　　诺特的思想通过她的学生范.德.瓦尔登的名著<

　　1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数;第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派;1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。

　　数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。

　　中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代。当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。