《11 点列与线束》

本课程为东北师范大学沈广艳老师主讲的几何基础公开课程教学视频，全套课程共20学时，几何是一门研究空间结构及性质的学科，而著名数学家希尔伯特的《几何基础》却把几何学引进了一个更抽象的公理化系统，他把几何进行了重新定义，让它从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。下面我们就来了解一下。

人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几何学不断向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他1899年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系。这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。

希尔伯特不仅提出了—个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的问题：

第一，共存性(和谐性)，就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。

第二，独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。

第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。

这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。

意义

公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理法理论中，由于基本对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，只专门研究抽象的对象之间的关系、性质。从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何学。

因此，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学，每一个几何学的直观形象不止只有—个，而是可能有无穷多个，每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释，或者叫做某种几何学的模型。平常我们所熟悉的几何图形，在研究几何学的时候，并不是必须的，它不过是一种直观形象而已。

就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。这些，都对近代几何学的发展带来了深远的影响。