《常系数线性差分方程(一)》

差分方程是含有未知函数及其差分，但不含有导数的方程，又称递推关系式，是数学中的一项重要内容。在本教程中，我们将对线性差分方程的相关知识进行学习，下面我们就来了解一下。

形如

yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t)

的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程。其中a1(t)，a2(t)，…，an-1(t)，an(t)和f(t)都是t的已知函数，且an(t)≠0，f(t)≠0。而形如

yt+n+a1(t)yt+n-1+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0

的差分方程，称为n阶齐次线性差分方程。其中ai(t)(i=1，2，…，n)为t的已知函数，且an(t)≠0。

如果ai(t)=ai(i=1，2，…，n)均为常数(an≠0)，则有

yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t)，

yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0。

分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程。

定理

定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理)

若y1(t)，y2(t)，…，ym(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解(m≥2)，则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t)也是方程 的解，其中A1，A2，…，Am为任意常数。

定理2n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解。

定理3(齐次线性差分方程通解结构定理)

如果y1(t)，y2(t)，…，yn(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解，则方程 的通解为：

yA(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，

其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数。

定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理)

如果 (t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t)的一个特解，yA(t)是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的通解，那么，非齐次线性差分方程的通解为：

y(t)=yA(t)+ (t)

即

y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+ (t)，

这里A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数。