《20 积性函数（六）莫比乌斯反演公式》

初等数论串联，非应试，重原理，初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。中央电大的这部初等数论视频教程涵盖了整除，不定方程，同余，同余方程，指数与原根，连分数，素数分布的初等结果，数论函数等内容。想学好初等数论知识的朋友可千万不要错过观看哦!

　　古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数(如亲和数、完全数、多边形数)及特殊不定方程的研究。公元前4世纪，欧几里德的《几何原本》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。

　　初等数论已经有2000年的历史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。

　　中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。孙子定理比欧洲早500年， 西方常称此定理为中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术也驰名世界。初等数论不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科的重要工具。它的应用是多方面的，如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用。

　　初等数论有以下几部分内容：

　　1.整除理论。 引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。 这一理论的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、 欧几里德 的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。

　　2.同余理论。 主要出自于高斯的《算术研究》内容。 定义了同余、原根、指数、平方剩余 、 同余方程等概念。 主要成果： 二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理(即中国剩余定理)等等。

　　3. 连分数理论。 引入了连分数概念和算法等等。 特别是研究了整数平方根的连分数展开。 主要成果： 循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。

　　4. 不定方程。 主要研究了低次代数曲线对应的不定方程， 比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了4次费马方程的求解问题等等。

　　5. 数论函数。 比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。