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几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位， 并且关系极为密切。几何这个词最早来自于希腊语“γεωμετρία”，由“γέα”(土地)和“μετρε ĭν”(测量)两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也可能是magnitude(多少)的意译，所以一般认为几何是geometria的音、意并译。

1607年出版的《几何原本》中关于几何的译法在当时并未通行，同时代也存在着另一种译名——形学，如狄考文、邹立文、刘永锡编译的《形学备旨》，在当时也有一定的影响。在1857年李善兰、伟烈亚力续译的《几何原本》后9卷出版后，几何之名虽然得到了一定的重视，但是直到20世纪初的时候才有了较明显的取代形学一词的趋势，如1910年《形学备旨》第11次印刷成都翻刊本徐树勋就将其改名为《续几何》。直至20世纪中期，已鲜有“形学”一词的使用出现。

几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。 几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各分支发展都几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。

平面几何立体几何

最早的几何学当属 平面几何。 平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线(即圆锥曲线， 就是椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。平面几何采用了公理化方法， 在数学思想史上具有重要的意义。 　　平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何。 为了计算体积和面积问题， 人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念。 　　笛卡尔引进坐标系后， 代数与几何的关系变得明朗， 且日益紧密起来。 这就促使了解析几何的产生。解析几何是由笛卡尔、费马分别独立创建的。这又是一次具有里程碑意义的事件。从解析几何的观点出发， 几何图形的性质可以归结为方程的分析性质和代数性质。 几何图形的分类问题(比如把圆锥曲线分为三类)，也就转化为方程的代数特征分类的问题， 即寻找代数不变量的问题。 　　立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴， 从而研究二次曲面(如球面，椭球面、锥面、双曲面，鞍面)的几何分类问题， 就归结为研究代数学中二次型的不变量问题。 　　总体上说， 上述的几何都是在欧氏空间的几何结构--即平坦的空间结构--背景下考察， 而没有真正关注弯曲空间 下的几何结构。欧几里得几何公理本质上是描述平坦空间的几何特性，特别是第五公设引起了人们对其正确性的疑虑。 由此人们开始关注其弯曲空间的几何， 即“非欧几何 ”。 非欧几何中包括了最经典几类几何学课题， 比如“球面几何”，“罗氏几何 ”等等。另一方面， 为了把无穷远的那些虚无缥缈的点也引入到观察范围内， 人们开始考虑射影几何。 　　这些早期的非欧几何学总的来说，是研究非度量的性质，即和度量关系不大， 而只关注几何对象的位置问题--比如平行、相交等等。 这几类几何学所研究的空间背景都是弯曲的空间。

微分几何

为了引入弯曲空间的上的度量(长度、面积等等)， 我们就需要引进微积分的方法去局部分析空间弯曲的性质。微分几何 于是应运而生。 研究曲线和曲面的微分几何称为古典微分几何。 但古典微分几何讨论的对象必须事先嵌入到欧氏空间里，才定义各种几何概念等等(比如切线、曲率)。 一个几何概念如果和几何物体所处的空间位置无关，而只和其本身的性态相关，我们就说它是内蕴的。 用物理的语言来说， 就是几何性质必须和参考系选取无关。

内蕴几何

哪些几何概念是内蕴性质的? 这是当时最重要的理论问题。 高斯发现了曲面的曲率(即反映弯曲程度的量)竟然是内蕴的---尽管它的原始定义看上去和所处的大空间位置有关。 这个重要发现就称为高斯绝妙定理。古典几何的另一个重要发现就是高斯-博纳特公式， 它反映了曲率和弯曲空间里的三角形三角之和的关系。

研究内蕴几何的学科首属黎曼几何 · 黎曼在一次著名的演讲中，创立了这门奠基性的理论。 它首次强调了内蕴的思想， 并将所有此前的几何学对象都归纳到更一般的范畴里， 内蕴地定义了诸如度量等等的几何概念。 这门几何理论打开了近代几何学的大门， 具有里程碑的意义。它也成为了爱因斯坦的广义相对论的数学基础。从黎曼几何出发， 微分几何进入了新的时代，几何对象扩展到了流形(一种弯曲的几何物体)上--这一概念由庞加莱引入。 由此发展出了诸如张量几何、黎曼曲面理论、复几何、霍奇理论、纤维丛理论、芬斯勒几何 、莫尔斯理论、形变理论等等。

从代数的角度看， 几何学从传统的解析几何发展成了更一般的一门理论--代数几何。传统代数几何就是研究多项式方程组的零点集合作为几何物体所具有的几何结构和性质--这种几何体叫做代数簇。 解析几何所研究的直线、圆锥曲线、球面、锥面等等都是其中的特例。稍微推广一些，就是代数曲线， 特别是平面代数曲线，它相应于黎曼曲面。代数几何可以用交换代数的环和模的语言来描述，也可以从复几何、霍奇理论等分析的方法去探讨。代数几何的思想也被引入到数论中，从而促使了抽象代数几何的发展，比如算术代数几何。