法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源。

由三角函数系{cos nx,sin nx｝ (n=0,1,2,…)组成的无穷级数 称为三角级数,其中αn,bn为系数，与x无关。若级数(1)对于一切x收敛，它的和记为ƒ(x)：则ƒ(x)是一个具有周期2π的周期函数。上式两边分别乘以cos nx或sin nx，并且在(0,2π)上同时积分，就得到公式 上面的运算是形式的，因为符号Σ与积分的交换缺乏根据。为了保证上述运算的正确性,应当对级数(1)的收敛性加以必要的限制,例如一致收敛性等。但是,上面提供的纯形式运算,却提出了一个很有意义的问题:如果ƒ(x)是一个给定的以2π为周期的周期函数,通过(3)可以得到一列系数αn,bn,从而可构造出相应的三角级数(1)。这样得到的三角级数(1)是否表示ƒ(x)?正是傅里叶,他首先认为这样得到的级数(1)可以表示ƒ(x)。

给定ƒ(x)，利用(3)得到的三角级数(1),称为ƒ的傅里叶级数,而称(3)为ƒ的傅里叶系数。这种思想可以推广到任意区间上的正交函数系。特别,(n=0,±1，±2,…)是[0,2π]上的规范正交函数系，函数ƒ关于它的傅里叶级数为称为ƒ 的傅里叶级数的复形式。

傅里叶分析从诞生之日起,就围绕着“ƒ的傅里叶级数究竟是否收敛于 ƒ自身”这样一个中心问题进行研究。当傅里叶提出函数可用级数表示时，他的想法还没有得到严格的数学论证，实际的情形人们并不清楚。P.G.L.狄利克雷是历史上第一个给出函数ƒ(x)的傅里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家。他的收敛判别法,后称为狄利克雷-若尔当判别法。他证明了在一个周期上分段单调的周期函数ƒ的傅里叶级数,在它的连续点上必收敛于ƒ(x);如果ƒ在x点不连续，则级数的和是(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。顺便指出，狄利克雷正是在研究傅里叶级数收敛问题的过程中，才提出了函数的正确概念。因为在他的判别法中，函数在一个周期内的分段单调性，可能导致该函数在不同区间上的不同解析表示，这自然应当把它们看做同一个函数的不同组成部分，而不是像当时人们所理解的那样，认为一个解析表达式就是一个函数。

(G.F.)B.黎曼对傅里叶级数的研究也作出了贡献。上面说过，确定ƒ的傅里叶系数，要用到积分式(3)。但是人们当时对积分的理解还不深入。黎曼在题为《用三角级数来表示函数》(1854)的论文中，为了使得更广一类函数可以用傅里叶级数来表示，第一次明确地引进并研究了现在称之为黎曼积分的概念及其性质，使得积分这个分析学中的重要概念，有了坚实的理论基础。他证明了如果周期函数ƒ(x)在[0,2π]上有界且可积，则当n趋于无穷时ƒ 的傅里叶系数趋于0。此外，黎曼还指出，有界可积函数ƒ的傅里叶级数在一点处的收敛性,仅仅依赖于ƒ(x)在该点近旁的性质。这个非常基本而重要的结果称之为局部性原理。

G.G.斯托克斯和 P.L.von赛德尔引进了函数项级数一致收敛性的概念以后，傅里叶级数的收敛问题进一步受到了人们的注意。H.E.海涅在1870年的一篇论文中指出，有界函数ƒ(x)可以唯一地表示为三角级数这一结论，通常采用的论证方法是不完备的，因为傅里叶级数未必一致收敛，从而无法确保逐项积分的合理性。这样，就可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函数。这就促使G.(F.P.)康托尔研究函数用三角级数表示是否唯一的问题。这种唯一性问题的研究，又促进了对各种点集结构的探讨。G.康托尔第一次引进了点集的极限点以及导集等概念，为近代点集论的诞生奠定了基础。

K.(T.W.)外尔斯特拉斯在1861年首次利用三角级数构造了处处不可求导的连续函数。他的这一发现震动了当时的数学界,因为长期的直观感觉使人们误认为,连续函数只有在少数一些点上才不可求导。