一类重要的拓扑空间。它除了具有通常的拓扑结构外，还添上了微分结构。微分几何学的研究是建立在微分流形上的。三维欧氏空间R中的曲面是二维的微分流形，但微分流形的概念远比这广泛得多，非但维数不限于二维,而且流形也不必作为n维欧氏空间R中的曲面来定义。此外，一般微分流形也不一定有距离的概念。详细介绍　　具体说来,设M是一个豪斯多夫拓扑空间。U是M的开集,h是U到n维欧氏空间R的开集(常取为单位球内部或立方体内部等等)上的一个同胚映射,则(U，h)称为一个坐标图,U称为其中点的一个坐标邻域。设M为开集系{Uα}所覆盖,则(Uα,hα)的集合称为M的一个坐标图册。如果M的坐标图册中任何两个坐标图都是C相关的,则称M有C微分结构,又称M为n维的C微分流形。C相关是指流形M上同一点的不同坐标之间的变换关系是C可微分的(k=0,1,…,∞或ω)，依通常记号C表示解析函数。具体来说, 如p∈Uα∩Uβ,(x,)(x)(i=1,…,n)分别是p在两个坐标图(Uα,hα)，(Uβ,hβ)下的(局部)坐标,即那么它们之间的关系式可表为

　　1而ƒ关于x(j=1,2，…，n)具有直到k次的连续导数。k=0时,M是拓扑流形;k>0时,就是微分流形;k=ω时，是解析流形。C流形又常称为光滑流形。

　　2如果微分流形M是一个仿紧或紧致拓扑空间，则称M为仿紧或紧致微分流形。如果可选取坐标图册使微分流形M中各个坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式都大于零，则称这个流形是可定向的。球面是可定向的，麦比乌斯带是不可定向的。

　　同一拓扑流形可以具有本质上不同的C微分结构。J.W.米尔诺对七维球面S首先发现这个事实, 他证明七维球上可有多种微分结构。近年来，M.弗里得曼等得出如下的重要结果:四维欧氏空间中也有多种微分结构,这与 n(n≠4)维欧氏空间只有惟一的微分结构有着重大区别。

　　微分流形上可以定义可微函数、切向量、切向量场、各种张量场等对象并建立其上的分析学。以下的叙述对于C流形(k任意)也成立，但是，为了简单起见,仅就M为C流形来叙述。

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　　可微函数

　　设p∈U,ƒ是M上点p的邻域中定义的实值函数，(U，h)是C坐标图。如果函数ƒ。h：h(U)嶅R→R在h(p)点是r次连续可微的,则称ƒ在点p是Cr函数。这个定义与C坐标图的取法无关。如果在M上所定义的实值函数ƒ在M的各个点都是Cr的,则称ƒ为M上的Cr函数。M上的C函数全体组成一个实线性空间，记为F(M)。

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　　切向量

　　设p∈M,M在点p处的一个切向量是指从F(M)到R的一个线性映射x，使得对于任意的ƒ，g∈F(M)，满足：

　　条件对于在p点的切向量x1,x2和实数λ1,λ2,定义λ1x1+λ2x2如下： 那么,点p处的切向量全体构成一个n维的实线性空间TP，TP称为在p处M的切空间或切向量空间(也记为TP(M))。如果(x，x，…，x)为点p处

　　公式的局部坐标系，则由

　　1定义的n个独立的切向量，构成TP的一组基，称为自然标架(或坐标标架)。M的切向量全体构成以M为底空间的向量丛(见纤维丛)，称为M的切向量丛，简称切丛。M的切丛的一个截面称为M上的一个向量场。在局部坐标系中，向量场可表成

　　公式的形式，式中ξ(x)是坐标(x)的C函数。

　　2TP的对偶空间称为M在点p处的余切空间，记为T坝。T坝中的元素称为余切向量,也称协变向量。M的余切向量全体构成M的余切向量丛，简称余切丛，它的截面称为M上的一次微分形式。 “1=2”

　　由TP和T坝通过张量积的运算可以得到M在点p处的各种(r,s)型张量,M的(r,s)型的张量全体构成张量丛，它的截面就是M上的一个(r,s)型张量场(见多重线性代数、张量)。

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　　可微映射

　　设φ是从C流形M到C流形N 的连续映射,如果对于N上的任意Cr函数ƒ,M上的函数ƒ。φ总是Cr的,则称φ是Cr可微映射，或简称Cr映射。如果φ是从M到N上的同胚，而且φ和φ都是C的，则称φ为微分同胚，此时也称M与N是微分同胚的微分流形。

　　映射的微分 设φ是从M到N的C映射。对M上点p的切向量x可以如下地定义N在点φ(p)处的切向量x┡：

　　公式这个对应x→x┡用dφP表示,称为φ在点p处的微分。微分dφP是从切空间TP(M)到

　　公式(N)的线性映射,有时也称为φ在切空间的诱导映射, 常用φ*P或φ*表示。利用对偶性，φ也自然地诱导了从余切空间

　　公式到T坝的线性映射，常记为(dφP)或φ坝或φ。由张量积运算，φ还可以诱导对应点之间某些张量空间之间的线性映射。

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　　子流形

　　设M和N是两个C流形，φ：M→N是C映射。如果微分dφP在M的每一点都是单射,则称φ是浸入，而φ(M)称为N 的浸入子流形。如果浸入φ还是单射,则称为嵌入，此时φ(M)称为N的嵌入子流形。

　　在微分流形上还可以定义外微分形式(见外微分形式)。p次外微分形式

　　公式(2)是一些微分的外积的线性组合，这些微分的外积是反对称的,即

　　公式是p阶反对称协变张量,M上p次外微分形式的全体构成一个实数域上的无限维向量空间E。对外微分形式可以进行加法运算(同次外微分形式可以相加),外积运算(p次外微分形式与q次外微分形式的外积是一个(p+q)次外微分形式)，还可以进行外微分运算及积分运算。在局部坐标下，外微分运算为

　　公式(3)　设ω∈E且dω =0,则称ω为闭形式。M上p次闭形式的全体构成E的一个子空间记为Z。设ω∈E,且ω=dσ(σ∈E，则称ω为正合形式。正合形式一定是闭形式。M上p次正合形式的全体也构成E的一个子空间记为B，B嶅Z。商空间

　　公式(4)称为p次德·拉姆上同调群(或p次上同调空间)。德·拉姆建立了微分结构与拓扑结构的一个重要关系：设M是紧致流形,则H(M)是有限维的,且其维数等于M的第p个贝蒂数bp。

　　仿紧微分流形均可赋予适当的黎曼度量(见黎曼几何学)，且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了丰富的几何内容，这时称为黎曼流形。黎曼流形是微分几何的主要的研究对象。