变分法是数学领域中是处理泛函的重要方法，和处理函数的普通微积分相对。在本教程中，我们将对变分法的相关内容进行学习，下面我们就先来了解一些变分法的有关知识。

=变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值(或者都不是)。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面(肥皂泡)上也有很多研究工作，称为Plateau问题。

发展简史

变分法可能是从约翰·伯努利(1696)提出最速曲线(brachistochrone curve)问题开始出现的. 它立即引起了约翰·伯努利和洛必达的注意, 但欧拉首先详尽的阐述了这个问题. 他的贡献始于1733年, 他的《变分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了这门科学这个名字. 拉格朗日对这个理论的贡献非常大. 拉格朗日(1786)确定了一种方法, 但在对极大和极小的区别不完全令人满意.牛顿和莱布尼茨也是在早期关注这一学科. 对于这两者的区别Vincenzo Brunacci(1810), Carl Friedrich Gauss(1829), Simeon Poisson(1831), Mikhail Ostrogradsky(1884), 和Carl Jacobi(1837)都曾做出过贡献. Sarrus(1842)的由Cauchy(1844)浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就. Strauch(1849), Jellett(1850), Otto Hesse(1857), Alfred Clebsch(1858), 和Carll(1885)写了一些其他有价值的论文和研究报告, 但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的. 他关于这个理论的著名教材是划时代的, 并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的. 1900发表的第20和23个希尔伯特(Hilbert)促进了更深远的发展. 在20世纪David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue和Jacques Hadamard 等人做出重要贡献. Marston Morse 将变分法应用在Morse理论中. Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法理想控制论发展了新的数学工具。